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贝叶斯均衡（bayesian nash equilibrium, bne）
贝叶斯均衡（bne）是不完全信息博弈（inplete information games）中的纳什均衡（nash equilibrium），用于分析玩家对其他玩家的类型（type）不完全了解的情况。它广泛应用于经济学、拍卖理论、政治博弈、人工智能等领域。
1 贝叶斯均衡的基本概念
在经典的纳什均衡（ne）中，所有玩家都完全了解博弈的结构和对手的策略。但在现实中，玩家通常不完全了解对手的信息，例如：
竞标者不知道对手的财力（如拍卖）。
企业不知道竞争对手的成本（如定价策略）。
政府不知道敌对国家的真实军事实力（如国际关系）。
贝叶斯博弈（bayesian game） 就是在这种不完全信息环境下建模的。
贝叶斯均衡（bne） 是所有玩家基于自己的私人信息和对对手的概率推断，所选择的最优策略组合，使得每个玩家在给定自己的信息和对对手的信念情况下，无法通过单方面改变策略来获得更高的期望收益。
2 贝叶斯博弈的构成
一个贝叶斯博弈可以表示为一个五元组：
其中：
：玩家集合。
：玩家
的类型（type）集合，表示玩家的私人信息（如成本、技能等）。
：玩家
的策略（strategy）集合。
：玩家
对其他玩家类型的信念（beliefs），即他认为对方是某种类型的概率。
：玩家的效用函数（payoff function），依赖于所有玩家的策略
和类型 。
贝叶斯均衡的条件：
在贝叶斯均衡（bne）下，每个玩家的策略
必须最大化其期望收益，即：
其中期望收益是基于对其他玩家类型的概率信念计算的。
3 贝叶斯均衡的求解
贝叶斯均衡通常通过以下步骤求解：
1确定玩家类型（types）：找出不完全信息的关键因素，如玩家的私有信息（成本、能力等）。
2建立概率信念（beliefs）：假设每个玩家对其他玩家类型的概率分布。
3计算期望收益（expected payoff）：每个玩家基于其信念计算自己的收益。
4寻找最优策略（best response）：使得玩家的期望收益最大化。
5确保策略的相互一致性（equilibrium condition）：确保所有玩家的策略相互匹配，达到均衡状态。
4 经典案例分析
(1) 第一价格密封拍卖（first-price sealed-bid auction）
问题描述：
有两个竞标者
和
竞标一个商品，物品的真实价值对他们不同，且私密。
每个竞标者的估值
来自均匀分布 。
玩家不知道对手的具体估值，但知道估值的概率分布。
最高出价者获胜，并支付其出价。
解法：
1定义玩家的策略：假设每个竞标者
采用线性竞标策略：
其中
是待求参数。
2建立概率信念：
竞标者
认为
的估值服从 。
竞标者
的获胜概率是 。
由于 ，所以赢的概率是 。
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