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最高每日平行四百零一秒小余○七○二二六正交每日平行一百九十秒小余六三八六三太阳最大均数一度五十六分一十三秒
太阴最大平均一十一分五十秒
最高最大平均一十九分五十六秒
正高最大平均九分三十秒
太阳最高立方积一○五一五六二
太阳高卑立方较一○一四一○
太阳在最高太阴最大二平均三分三十四秒太阳在最卑太阴最大二平均三分五十六秒太阴最大三平均四十七秒
太阴本天撱圆大半径一千万
最大两心差六六七八二○
最小两心差四三三一九○
最高本轮半径五五○五○五
最高均轮半径一一七三一五
太阳在最高太阴最大二均三十三分一十四秒太阳在最卑太阴最大二均三十七分一十一秒太阴最大三均二分二十五秒
两最高相距一十度两弦最大末均六十一秒【以下从省文祗书相距末均四字】相距二十度末均六十七秒相距三十度末均七十六秒相距四十度末均八十八秒相距五十度末均一百零三秒相距六十度末均一百二十秒相距七十度末均一百三十九秒相距八十度末均一百五十九秒相距九十度末均一百八十秒正交本轮半径五十七分半
正交均轮半径一分半
最大黄白大距五度一十七分二十秒
最小黄白大距四度五十九分三十五秒
黄白大距中数五度八分二十七秒三十微黄白大距半较八分五十二秒三十微
最大交角加分一十七分四十五秒
最大距日加分二分四十三秒
气应三十二日一二二五四
太隂平行应五宫二十六度二十七分四十八秒五十三微
最高应八宫一度十五分四十五秒三十八微正交应五宫二十二度五十七分三十七秒三十三微
【臣】等谨按雍正元年日月用数较康熙时周详加倍盖至是而推步益密虽不载及五星而其法可以概见也
朔望平实
日月相会为朔相对为望朔望又有平实之殊平朔望者日月之平行度相会相对也实朔望者日月之实行度相会相对也故平朔望与实朔望相距之时刻以两实行相距之度为准盖两实行相距之度以两均数相加减而得而两朔望相距之时刻则以两实行相距之度变为时刻以加减平朔望而得实朔望故两实行相距无定数则两朔望相距亦无定时也
晦朔弦望
太阴之晦朔弦望虽无关乎自行之迟疾而自行之迟疾实由於朔望两弦而得知其二十七日有奇而一周者太阴之自行也其二十九日半强而与太阳相会者朔策也其间犹有望与上下两弦之分焉盖太阴之体赖太阳而生光其向太阳之面恒明背太阳之面恒晦而其行则甚速於太阳当其与太阳相会之时人在地上正见其背故谓之朔後渐远太阳人可渐见其面其光渐长至距朔七日有奇其距太阳九十度人可见其半面太阳在後太阴在前其光向西其魄向东故名上弦上弦以後距太阳愈远其光渐满至一百八十度正与太阳相望人居其间正见其面故谓之望自望之後又渐近太阳人不能正见其面其光渐亏其魄渐生至距望七日有奇其距太阳亦距九十度则又止见其半面太阳在前太阴在後其光向东其魄向西故名下弦下弦以後距太阳愈近其光渐消至复与太阳相会其光全晦复为朔矣
太阴隐见迟疾
合朔之後恒以三日月见於西方故尚书注月之三日为哉生明然有朔後二日即见者更有晦日之晨月见东方朔日之夕月见西方者唐历家遂为进朔之法致日食乃在晦宗元史已辨其非而未明其故盖月之隐见迟疾固有一定之理可按数而推殆因乎天行由於地度毋庸转移迁就也至於汉魏历家未明盈缩迟疾之差以平朔着历故有晦而月见东方朔而月见西方者此则推步之疎不可以隐见迟疾论也隐见之迟疾一因黄赤道之升降有斜正也盖春分前後各三宫【由星纪至实沈六宫】黄道斜升而正降月离此六宫则朔後疾见秋分前後各三宫【由鹑首至析木六宫】黄道正升而斜降月离此六宫则朔後迟见如日躔降娄初度月离降娄一十五度为正降日入时月在地平上高一十四度余即可见盖入地迟而见早也日躔夀星初度月离夀星一十五度为斜降日入时月在地平上高六度余即不可见盖入地疾而见迟也若晦前月离正升六宫则隐迟斜升六宫则隐早其理亦同一因月距黄纬有南北也盖月距黄道北则朔後见早距黄道南则朔後见迟如日躔降娄初度月离降娄一十五度而月距黄道北则月距地平之度多入地迟而见早月距黄道南则月距地平之度少入地疾而见迟也若晦前距黄道北则隐迟距黄道南则隐早其理亦同一因月自行度有迟疾也盖月自行迟则朔後见迟晦前隐迟自行疾则朔後见早晦前隐早也夫月离正降宫度距日一十五度即可见以每日平行一十二度有奇计之则朔後一日有余即见生明於西是故合朔如在甲日亥子之间月离正升宫度距黄道北而又行迟则甲日太阳未出亦见东方月离正降宫度距黄道北而又行疾则乙日太阳已入亦见西方矣
地半径差
凡求七曜出地之高度必用测量乃测量所得之数往往不合盖推步所得者七曜距地心之高度而测量所得者七曜距地面之高度也距地心之高度为真高距地面之高度为视高人在地面不在地心故视高必小於真高以有地半径之差也【或有大於真高者则清蒙气所为也】盖七曜恒星虽皆丽於天而其高下又各不等惟恒星天为最高其距地最远地半径甚微故有视高真高之差若夫七曜诸天则皆有地半径差
噶西尼等谓日天半径甚远无地半径差而测量所系只在秒微又有蒙气杂乎其内最为难定因思日月星之在天惟恒星无地半径差若以日与恒星相较可得其准而日星不能两见是测日不如测五星也土木二星在日上去地尤远地半径差愈微金水二星虽有时在日下而其行绕日逼近日光均为难测惟火绕日而亦绕地能与太阳冲故夜半时火星正当子午线於南北两处测之同与一恒星相较其距恒星若相等则是无地半径差若相距不等即为有地半径差其不等之数即两处半径差之较且火星冲太阳时其距地较太阳为近则太阳地半径差必更小如火星地半径差也噶西尼用此法推得火星在地平上最大地半径差为二十五秒比例得太阳在中距时地平上最大地半径差为一十秒验之交食果为脗合近日西法并宗其说
地影半径
太阳照地而生地影太阴遇影而生薄蚀凡食分之浅深食时之久暂皆视地影半径之大小其所系固非轻也但地影半径之大小随时变易其故有二一缘太阳距地有远近距地远者影巨而长距地近者影细而短此由太阳而变易者也一缘地影为尖圆体近地粗而远地细太阴行最卑距地近则过影之粗处其径大行最高距地远则过影之细处其径小此由太阴而变易也
旧说谓太阳有光分能侵地影使小今说谓地周有蒙气能障地影使大此亦极不同之致然最大影半径旧为四十六分四十八秒今为四十六分五十一秒相差不过三秒最小影半径旧为四十二分三十八秒今为三十分二十八秒相差四分有余盖地影之大小固由於太阳距地之远近及太阴距地之高卑而太阴所关为尤重最卑太阴距地今昔相差不过百分地半径之九十五最高太阴距地则相差至百分地半径之五百六十一夫月之距地既因两心差而不同则月径与影径遂亦因之而各异要皆据一时之所测设法推步以求合而非为臆说也
日月实径与地径
日最大地次之月最小新法历书载日径为地径之五倍有余月径为地径之百分之二十七强今依其法用日月高卑两限各数推之所得实径之数日径为地径之五倍又百分之七月径为地径之百分之二十七弱皆与旧数大制相符足徵其说之有据而非诬也【臣】等谨按西法以日实径为地径之五倍有余近西人用远镜仪测日实径为地径之九十六倍余月实径为地径百分之二十七零是月实径与旧大致相符而日实径差至十九倍说详考成後编物理小识云影瘦光肥斯言得之矣
清蒙气差
清蒙气差从古未闻明万历间西人第谷始发之其言曰清蒙气者地中游气时时上腾其质轻微不能隔碍人目却能暎小为大升卑为高故日月在地平上比於中天则大星座在地平上比於中天则广此暎小为大也定望时地在日月之间人在地面无两见之理而恒得两见或日未西没而已见月食於东日已东出而尚见月食於西此升卑为高也又曰清蒙之气有厚薄有高下气盛则厚而高气微则薄而下而升象之高下亦因之而殊其所以有厚薄有高下者地势殊也若海或江湖水气多则清蒙气必厚且高也故欲定七政之纬宜先定本地之清蒙差第谷言其国北极出地五十五度有奇测得地平上最大之差三十四分自地平以上其差渐少至四十五度其差五秒更高则无差此即新法历书所用之表也近日西人又言於北极出地四十八度之地测得太阳高四十五度时蒙气差尚有一分余自地平至天顶皆有蒙气差即此观之益见蒙气差之随地不同而第谷为不妄矣
第谷所定地平蒙气差噶西尼谓蒙气绕乎地球之周日月星照乎蒙气之外人在地面为蒙气所暎必能视之使高而日月星之光线入乎蒙气之中必反折之使下故光线与视线在蒙气之内则合而为一蒙气之外则岐而为二此二线所交之角即为蒙气差角第谷已悟其理然犹未有算法今反覆精求视线与光线所岐虽有不同而相合则有定处自地心过所合处作线抵圜周则此线即为蒙气之割线视线与割线成一角光线与割线亦成一角二角相减即得蒙气差角爰在北极出地高四十四度处屡加精测得地平最大差为三十二分二十九秒蒙气之厚为地半径千万分之六千零九十五视线角与光线角正弦之比例常如一千万与一千万零二千八百四十一用是以推逐度之蒙气差至八十九度尚有一秒验诸实测较第谷为密近日西法并宗之
曚影刻分
曚影者古所谓晨昏分也太阳未出之光已入之後距地平一十八度皆有光故以一十八度为曚影限然北极出地有高下太阳距赤道有南北故曚影刻分随时随地不同其随时不同者二分之刻分少二至之刻分多随地不同者愈北则刻分愈多愈南则刻分愈少也若夫北极出地五十度则夏至之夜半犹有光愈高则渐不夜矣南至赤道下则二分之刻分极少而二至之刻分相等赤道以南反是
交食总论
日月相会为朔相对为望朔而同度同道则月掩日而日为之食望而同度同道则月亢日而月为之食【朔望日月皆东西同度而南北不皆同道同道则食】顾推步之法月食犹易而日食最难以月在日下人在地面随时随处所见常不同也自大衍以至授时其法寖备我朝用西法推验尤精考成上编言之详矣近日西人噶西尼等益复精求立为新表其理不越乎昔人之范围而其用意细密又有出於昔人所未及者如求实朔实望用前後二时日月实行为比例昔人用平朔平望实距弧者未之及也日月两心相距最近为食甚两周初切为初亏初离为复圆皆用两径斜距为比例昔之用月距日实行者未之及也日食周图算月之视行不与白道平行带食日在地平视差即圆之半径月之视距即见食之浅深昔之言视差者亦未之及也虽其数所差无多而其法实属可取其他或因屡测而小有变更或因屡算而益求简捷则又考验之常规而推步所当从也
【臣】等谨按天文推步向分二门而七政之在天成象与恒星不同舍推步则象无可纪今备列宿度至交食凡十三条撮其大纲言理而不及数挈观象之端绪亦测验之要凡也若夫交食推求例繁数密具有成书兹不嫌於简略云
皇朝通志卷二十